CUARTO Lógica Simbólica

Lógica Simbólica

P entonces Q

Lógica simbólica o lógica matemática es el estudio formal de las preposiciones, para ello es necesario simbolizarlas primero.

P entonces Q es la simbolización de una miríada de preposiciones

P y Q son preposiciones

Entonces es el conector lógico que representa la relación entre las preposiciones

Ejemplo

P puede ser María viene a la fiesta

Y

Q puede ser No me la pasare bien en la fiesta

P entonces Q es la traducción de:

Si María viene a la fiesta entonces no me la pasare bien

Conectores Lógicos

Negación.-

El símbolo que usaremos (porque es fácil de escribir a máquina) es “-”.

La primera conectiva lógica proposicional (función de verdad) que examinaremos es la negación.  Hay muchas maneras de negar algo:

El dinero no es la felicidad.

Es falso que el dinero sea la felicidad.

No es el caso que el dinero es la felicidad.

El dinero es cualquier cosa menos la felicidad.

Es inaceptable decir que el dinero es la felicidad.

Delira quien sostiene que el dinero es la felicidad.

No se afirma con verdad que el dinero es la felicidad.

Todas éstas son negaciones de la oración atómica “El dinero es la felicidad”. Pero en lógica no buscamos la variedad sino la precisión al comunicar. Entonces si simbolizamos “El dinero es la felicidad” como p, todos los ejemplos los podemos simbolizar como -p

Recordemos que una negación es el polo opuesto y absoluto de una afirmación, por ejemplo vivimos en una dictadura no es la negación de vivimos en una democracia, pues hay otros modelos de gobierno que no son democráticos, pero tampoco dictaduras.

Para saber si P es la negación de Q, basta preguntarnos si podrían ser ambas simultáneamente verdaderas y si podrían ser ambas simultáneamente falsas.  Solamente cuando jamás podrían P y Q tener el mismo valor de verdad es que una es la negación de la otra.  En cualquier ocasión una tiene que ser verdadera (exhaustividad) y la otra tiene que ser falsa (exclusividad).

Conjunción.-

Podemos simbolizarla como de P&Q  P·Q, PÇQ, PÙQ, y PQ.

Otra expresión lógica es la conjunción. Si la afirmamos nos comprometemos con que las dos proposiciones que une son verdaderas. Si no son verdaderas ambas, el compuesto es falso.  Ejemplos de conjunción son:

La persona es espíritu y cuerpo.

La persona es espíritu encarnado.

La persona es espíritu encarnando.

La persona es espíritu pero corporal.

La persona es tanto espíritu como cuerpo.

La persona es espíritu además de ser cuerpo.

La persona es espíritu y la persona es cuerpo.

La persona, ese espíritu, es también un cuerpo.

La persona es espíritu aunque es también cuerpo.

La persona es espíritu; sin  embargo, es corporal.

Disyunción.-

Podemos simbolizarla como PvQ, PÚQ, PÈQ, y P+Q.

Hay dos tipos que se explican a continuación, inclusiva, en el cual ambas opciones son posibles al mismo tiempo y exclusiva en el cual solo puede ser posible una opción o la otra pero no ambas.

Una tercera expresión lógica muy común es la disyunción.  Aparece usualmente como la llamada “disyunción exclusiva”. La encontramos cuando tenemos que elegir una de dos alternativas.  Por ejemplo, “Los entes o son o no son”. Esta disyunción “excluye” la posibilidad de que ambos hechos ocurran. Aunque sea posiblemente la disyunción más común, nosotros emplearemos una disyunción que “incluya” la posibilidad de que ambos disyuntos ocurran. Es la llamada “disyunción inclusiva” simbolizada mediante “v” (del latín vel). Por ejemplo, al decir “El ser humano es espíritu o es cuerpo” entenderemos la disyunción en este manual como inclusiva; así, esa proposición será verdad incluso si el ser humano es tanto espíritu como cuerpo.

Queda al buen criterio del lector detectar cuándo se usa la disyunción como inclusiva o como exclusiva. Un indicador de que se trata de inclusiva es el agregado “... o ambas cosas”. Y un indicador de que se trata de exclusiva es el agregado “... pero no ambas cosas”. Desgraciadamente la gente acostumbra omitir estas aclaraciones, por lo que debemos analizar el contexto para decidir de qué disyunción se trata

Implicación.-

Se simboliza como PÉQ o P®Q

Si P, entonces Q

Un condicional puede a veces ser detectado por las mismas expresiones que mencionamos para identificar premisas y conclusiones.  Esto es desafortunado porque no siempre es claro si estamos ofreciendo un condicional como verdadero o un argumento como válido.  La regla es que un condicional no se compromete con la verdad de su antecedente ni con la de su consecuente.  El argumento “Todo está permitido pues Dios ha muerto” sostiene dos proposiciones y dice que una de ellas es evidencia para la otra.  En cambio, el condicional “Si Dios ha muerto, todo está permitido” no asevera ninguna de las proposiciones; sólo dice que no ocurre de hecho que Dios haya muerto y al mismo tiempo no todo esté permitido.  Si ocurriera lo primero, pasaría lo segundo.

También acostumbra leerse (P É Q) como “Si P, entonces Q”, aunque esto tiende a confundir el condicional material veritativo-funcional con el condicional del lenguaje ordinario, que normalmente no es veritativo-funcional.  El principal problema de limitarnos a funciones de verdad es que la expresión lógica más importante, “permite deducir que”, no es veritativo-funcional.   Saber los valores de verdad de dos proposiciones atómicas o compuestas no siempre es suficiente para saber si de una se deduce la otra.  Por ejemplo., supón que hubo un crimen, del que tú eres inocente, y nadie te vio en la escena (¿por qué te iban a ver? Tú no estuviste ahí, ¿verdad?).  Eso hace falsas a las dos proposiciones  “Te vieron en la escena del crimen” y “Tú eres culpable”.  Como ambas son falsas, el condicional material

“Te vieron en la escena del crimen” É  “Tú eres culpable”

Es verdadero, pero del antecedente no se sigue el consecuente.

Doble implicación o equivalencia.-

Simbolizamos como PºQ o P«Q y P=Q

Es tan cierto P como Q

No hay diferencia entre decir P o decir Q.

Hay dos peligros con la equivalencia material: usarla para simbolizar algo que decía más (lo que es atribuir menos), y usarla para simbolizar algo que decía menos (lo que es atribuir cosas que nunca se dijeron).

Un ejemplo de lo primero es cuando se usan expresiones como “P, lo mismo que Q” o “P, al igual que Q”.  Esas expresiones son normalmente conjunciones y por ello dicen más que una equivalencia material.  Una conjunción dice que ambos elementos tienen el valor Verdad, mientras que la equivalencia sólo dice que tienen el mismo valor, pero no se compromete a decir cuál.  Otro ejemplo es cuando se dice “P si y sólo si Q”.  La coimplicación significa que lo de la izquierda implica a lo de la derecha y viceversa.  Para que una coimplicación sea verdadera, si uno de los elementos es verdad el otro debe serlo, pues es implicado, y si uno es falso el otro debe serlo porque lo implicaba; es decir, requiere que la correspondiente equivalencia material sea verdadera.  Como vimos con la implicación, normalmente nada grave ocurre cuando debilitamos la información, pues estaremos haciendo más segura la afirmación.  Desgraciadamente, la expresión traducida puede estar en un contexto más amplio y si quien habla necesita la mayor información posible (por ejemplo, si la expresión es parte de premisas o antecedentes), entonces traducir la expresión como equivalencia material haría injustamente arriesgado el argumento o el condicional original.

Tablas de verdad

Como ya hemos estudiado, la lógica estudia la consistencia y la validez de los argumentos, no si las preposiciones son verdaderas o falsas, un cuadro de verdad nos ayuda a visualizar la veracidad de los argumentos explorando todos los casos posibles de verdad o falsedad de las proposiciones que componen al argumento.

El ejemplo más fácil viene con la negación

P	-P
V	F
F	V

En este caso digamos que P es mi papa es un ingeniero, hay dos valores de verdad posible para la preposición “Mi papa es un ingeniero” que simbolizamos como P

Si mi papa es un ingeniero, su negación “mi papa no es un ingeniero” será falsa

Pero si es falso que mi papa sea un ingeniero, porque no lo es, la negación de esta preposición “mi papa no es un ingeniero”, será verdadera.

P	Q	P & Q
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	F

Esta es la tabla de verdad de la conjunción, Por ejemplo P y Q serán Ana tiene ojos azules y grandes. O sea la conjunción de Ana tiene ojos azules P, y Ana tiene ojos grandes Q

La preposición compuesta P & Q solo será verdadera en el caso que ambos, P y Q sean verdaderos, en todos los otros casos es falsa.

P	Q	P v Q
V	V	V
V	F	V
F	V	V
F	F	F

La tabla de verdad de la disyunción inclusiva

Para que O tiene los ojos grandes o tiene los ojos azules sea verdadera, tiene que ser verdadero que al menos una de las dos preposiciones que la componen sean verdaderas, o ambas

Pero… si tratamos con la disyunción exclusiva

P	Q	P v Q
V	V	F
V	F	V
F	V	V
F	F	F

En este caso, o tiene los ojos azules, o los tiene grandes, pero no ambas, para que la preposición molecular sea verdadera, una de las dos tiene que ser verdadera, pero no ambas.

P	Q	P É Q
V	V	V
V	F	F
F	V	V
F	F	V

Tabla de verdad de la implicación natural

Solo será falsa cuando el consecuente sea falso. Investigar sobre falsacion en el método científico, La falsacion nos permite dar fuerza o validez a nuestra hipótesis o teoría en la medida en que permite experimentos que la desaprueben. Me imagino que si pasa A entonces también sucederá B. en el caso de que B no suceda, sea falso, aun cuando A es verdadero, entonces se descarta la teoría o hipótesis como invalida.

P	Q	P º Q
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	V

Tabla de verdad de la doble implicación o equivalencia.

El argumento solo es verdadero, valido, cuando ambos, tanto el antecedente P como el consecuente Q son ambos verdaderos o falsos. Esto es porque tal como el nombre del conector lógico lo indica, los dos son equivalentes.

Por ejemplo:

Es de día cuando el sol está en el cielo.

Son equivalentes la preposición P “es de día”, con la preposición Q “El sol está en el cielo” porque no hay forma de que sea de día si el sol está en el cielo, o caso en el cual el sol este en el cielo y no sea de día.